缺乏家庭最优决策是索洛模型和新古典增长模型的主要区别。
假设 生产函数的形式 劳动增强型（labor-augumenting/Harrod-neutral) ：Y = F ( K , A L ) 资本增强型（capital-augumenting）：Y = F ( A K , L ) 平衡增强型（Hicks-neutral）： Y = A F ( K , L ) Cobb-Douglas函数 的同时符合上述三种形式往往有解。
生产函数的特征 ①规模报酬不变
F ( c K , c A L ) = c F ( K , A L ) ∀ c ≥ 0 用途是将总量生产函数转化为个量生产函数
Y A L = F ( K A L , 1 ) ↔ y = f ( k ) ②边际产量为正且递减
f ( 0 ) = 0 f ′ ( k ) > 0 f ″ ( k ) < 0 ③稻田条件（Inada condition）
lim k → 0 f ′ ( k ) = ∞ lim k → ∞ f ′ ( k ) = 0 投入增速 假设劳动和知识匀速增长
L ˙ ( t ) = n L ( t ) A ˙ ( t ) = g A ( t ) 命题： $$\frac{\dot{X}(t)}{X(t)}=g \leftrightarrow X(t)=e^{gt}X(0)$$t = 0 C = ln X ( 0 ) ln X ( t ) = g t + ln X ( 0 ) X ( t ) = e g t X ( 0 )
由此可见，需要 X ˙ ln X
总量资本的动态方程为
K ˙ ( t ) ≡ I ( t ) − δ K ( t ) = [ Y ( t ) − C ( t ) ] − δ K ( t ) = s Y ( t ) − δ K ( t ) 动态 为了找到劳均资本 k ˙ ln k
k = K A L ln k = ln K − ln A − ln L d ln k d t = d ln K d t − d A d t − d L d t k ˙ k = K ˙ K − A ˙ A − L ˙ L k ˙ k = K ˙ K − g − n 其中
K ˙ K = Y − C − δ K K = Y K − C K − δ = f ( k ) k − c k − δ = s Y − δ K K = s Y K − δ = s f ( k ) k − δ 从而得到劳均资本的动态方程：
k ˙ = f ( k ) − c − ( n + g + δ ) k = s f ( k ) − ( n + g + δ ) k 其中：
s f ( k ) ( n + g + δ ) k 由劳均资本的动态方程可以直接得到劳均资本增长率的表达式：
g k ≡ k ˙ k = s f ( k ) k − ( n + g + δ ) 根据稻田条件可知
lim k → 0 f ( k ) k = ∞ lim k → ∞ f ( k ) k = 0 结合零点定理和边际产出递减可知，函数 g k ( k )
因此，内生增长模型 往往通过放松稻田条件和边际产出递减假设避免稳态。
稳态 当 g k = 0 k ˙ = 0 稳态 ，将稳态劳均资本 k ∗
s f ( k ∗ ) = ( n + g + δ ) k ∗ 这意味着均衡的储蓄率为常数
稳 态 时 总 量 资 本 增 长 率 为 s ∗ = ( n + g + δ ) k ∗ f ( k ∗ ) $ $ 稳 态 时 总 量 资 本 增 长 率 为 $ n + g $ \frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}-\frac{\dot{A}}{A}-\frac{\dot{L}}{L}=0 \implies \frac{\dot{K}}{K}=n+g
稳 态 时 经 济 增 长 率 为 稳 态 时 经 济 增 长 率 为 $ n + g $ \frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\mathrm{d}\ln Y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln (ALf(k))}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln A}{\mathrm{d}t}+\frac{\ln L}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\ln f(k)}{\mathrm{d}k} \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=n+g
人 均 资 本 增 长 率 人 均 资 本 增 长 率 \frac{\dot{K/L}}{K/L}=\frac{\mathrm{d}\ln K/L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln K}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}t}=g
You can't use 'macro parameter character #' in math mode 由此可见，所谓的稳态就是**匀速增长**。 ## 比较静态分析 接下来分析参数如何影响稳态，稳态条件的几何分析是一种直观方法。  其中，参数 $s$ 的分析最有意义，因为储蓄率比较容易干预，下面进行代数分析。 根据稳态条件，稳态解 $k^*$ 可以看作四个参数的隐函数，即 $k^*=k^*(s,n,g,\delta)$ 定义函数 由此可见，所谓的稳态就是**匀速增长**。 ## 比较静态分析 接下来分析参数如何影响稳态，稳态条件的几何分析是一种直观方法。  其中，参数 $s$ 的分析最有意义，因为储蓄率比较容易干预，下面进行代数分析。 根据稳态条件，稳态解 $k^*$ 可以看作四个参数的隐函数，即 $k^*=k^*(s,n,g,\delta)$ 定义函数 G=(n+g+\delta)k^-sf(k^ )
根 据 隐 函 数 定 理 有 根 据 隐 函 数 定 理 有 \frac{\partial k^}{\partial s}=- \frac{\partial G/\partial s}{\partial G/\partial k^ }=\frac{f(k^)}{(n+g+\delta)-f'(k^ )}
我 们 更 关 心 参 数 对 的 影 响 ， 可 以 使 用 链 式 法 则 求 解 我 们 更 关 心 参 数 对 G D P 的 影 响 ， 可 以 使 用 链 式 法 则 求 解 \frac{ \partial y^* }{ \partial s }=\frac{ \partial f(k^) }{ \partial k^ }\frac{ \partial k^* }{ \partial s }=\frac{f'(k^)f(k^ )}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}
导 数 的 经 济 意 义 仍 不 甚 清 楚 ， 所 以 尝 试 进 一 步 构 造 为 弹 性 导 数 的 经 济 意 义 仍 不 甚 清 楚 ， 所 以 尝 试 进 一 步 构 造 为 ∗ ∗ 弹 性 ∗ ∗ \frac{ \partial y^* }{ \partial s } \frac{s}{y^} =\frac{f'(k^ )}{\frac{n+g+\delta}{s}-f'(k^)}=\frac{f'(k^ )}{\frac{f(k^)}{k^ }-f'(k^)}=\frac{k^f'(k^ )}{f(k^ )-k^*f'(k)}=\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{k}}
You can't use 'macro parameter character #' in math mode 其中 $\alpha_{k}=\frac{k^*f'(k^*)}{f(k^*)}$ 可以看作归属劳均资本的产出份额。 为什么？根据齐次函数#欧拉定理 其中 $\alpha_{k}=\frac{k^*f'(k^*)}{f(k^*)}$ 可以看作归属劳均资本的产出份额。 为什么？根据齐次函数#欧拉定理 \begin{align}
其 中 ， 因 此 其 中 $ ∂ F ∂ K = ∂ A L f ( k ) ∂ k ∂ k ∂ K = A L f ′ ( k ) 1 A L = f ′ ( k ) $ ， 因 此 f(k)=kf'(k)+\frac{ \partial F }{ \partial AL }
You can't use 'macro parameter character #' in math mode 所以 $\frac{kf'(k)}{f(k)}$ 可以看作归属劳均资本的份额。 ## 黄金率 我们仅仅知道储蓄率越高稳态就越高，但是并不能说哪一个稳态更好，黄金率即人为规定了消费最高的稳态是最好的稳态，即 $c^*_{g}\equiv\max c^*$ 根据稳态消费的定义结合稳态条件 所以 $\frac{kf'(k)}{f(k)}$ 可以看作归属劳均资本的份额。 ## 黄金率 我们仅仅知道储蓄率越高稳态就越高，但是并不能说哪一个稳态更好，黄金率即人为规定了消费最高的稳态是最好的稳态，即 $c^*_{g}\equiv\max c^*$ 根据稳态消费的定义结合稳态条件 c^=f(k^ )-sf(k^)=f(k^ )-(n+g+\delta)k^*
F . O . C . \frac{ d c^(k^ ) }{ d k^* }=f'(k^*)-(n+g+\delta)=0
You can't use 'macro parameter character #' in math mode 这个式子可以解得 $k^*_{g}$，代回目标函数即可得到 $c^*_{g}$；这个式子还表明 $k^*_{g}$ 的几何意义，是持平投资线的平行线和曲线 $f(k)$ 的切点。 由 $k^*_{g}$ 可以反推出一个 $s_{g}$，我们称 $s>s_{g}$ 的范围为**动态无效率区间**，这是因为降低 $s$ 无论在短期和长期都可以带来帕累托改进：在短期消费水平提高，在长期稳态消费水平提高。 ## 绝对收敛与相对收敛 令劳均资本增长率对 $k$ 求导 这个式子可以解得 $k^*_{g}$，代回目标函数即可得到 $c^*_{g}$；这个式子还表明 $k^*_{g}$ 的几何意义，是持平投资线的平行线和曲线 $f(k)$ 的切点。 由 $k^*_{g}$ 可以反推出一个 $s_{g}$，我们称 $s>s_{g}$ 的范围为**动态无效率区间**，这是因为降低 $s$ 无论在短期和长期都可以带来帕累托改进：在短期消费水平提高，在长期稳态消费水平提高。 ## 绝对收敛与相对收敛 令劳均资本增长率对 $k$ 求导 \frac{\partial g_{k}}{\partial k}=\frac{s f'(k)k-s f(k)}{k^{2}}<0 \impliedby f'(k)k<f(k)
You can't use 'macro parameter character #' in math mode 因此 $k$ 越大 $g_{k}$ 的增长率越小，或者说 $k$ 距离稳态越远增长率越大。 这一结果被称为**相对收敛（条件收敛）**；如果类比到不同经济体的比较，则穷国相对于富国增长更快，这被称为**绝对收敛（无条件收敛）** 假说。 ## 收敛速度 泰勒公式 因此 $k$ 越大 $g_{k}$ 的增长率越小，或者说 $k$ 距离稳态越远增长率越大。 这一结果被称为**相对收敛（条件收敛）**；如果类比到不同经济体的比较，则穷国相对于富国增长更快，这被称为**绝对收敛（无条件收敛）** 假说。 ## 收敛速度 泰勒公式 f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + f''(x_{0}) \frac{(x-x_{0})^{2}}{2!} + \dots +f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^n}{n!}+R_
我 们 对 动 态 方 程 在 处 进 行 一 阶 泰 勒 展 开 我 们 对 动 态 方 程 $ k ˙ ( k ) $ 在 $ k ∗ $ 处 进 行 一 阶 泰 勒 展 开 \dot{k}(k)\approx \dot{k}(k^)+\left.\frac{ \partial \dot{k} }{ \partial k } \right|_{k=k^ }(k-k^*)
其 中 ， 记 可 得 其 中 $ k ˙ ( k ∗ ) = 0 $ ， 记 $ ∂ k ˙ ∂ k = λ $ 可 得 \dot{k}(t)\approx \lambda k-\lambda k^*
Misplaced & 套用 常微分方程 通解公式 套用 常微分方程 通解公式 \begin{align}) , dt \ +B) \]e^{\lambda t}+k^
其 中 ， 令 可 得 或 者 换 一 种 观 点 其 中 ， 令 $ t = 0 $ 可 得 $ C = k ( 0 ) − k ∗ $ > [ ! N O T E ] > 或 者 换 一 种 观 点 $ $ k ˙ ( t ) ≈ λ ( k − k ∗ ) 即资本减去一个常数后按固定速率增长 k ( t ) − k ∗ ≈ [ k ( 0 ) − k ∗ ] e λ t
现在来计算 λ
∂ k ˙ ∂ k | k = k ∗ = ∂ [ s f ( k ) − ( n + g + δ ) k ] ∂ k | k = k ∗ = s f ′ ( k ∗ ) − ( n + g + δ ) = ( n + g + δ ) k ∗ f ( k ∗ ) f ′ ( k ∗ ) − ( n + g + δ ) = ( n + g + δ ) [ f ′ ( k ) k ∗ f ( k ∗ ) − 1 ] = ( n + g + δ ) ( α k − 1 ) 例题：若 α k 1 3 n + g + δ
解答：λ = − 0.04
1 2 [ k ( 0 ) − k ∗ ] ≈ [ k ( 0 ) − k ∗ ] e λ t 1 2 ≈ e λ t 解得 t ≈ ln 2 0.04 ≈ 17.3
Q: 新古典生产函数的三个假设是什么？
F ( c K , c A L ) = c F ( K , A L ) ∀ c ≥ 0 ②新古典生产
f ( 0 ) = 0 f ′ ( k ) > 0 f ″ ( k ) < 0 ③稻田条件（Inada condition）
lim k → 0 f ′ ( k ) = ∞ lim k → ∞ f ′ ( k ) = 0 Q: Solow Model 中劳均资本的动态方程？
中 稳 态 产 出 关 于 储 蓄 率 的 弹 性 ？ < ! − − I D : 1717233375940 − − > Q : S o l o w M o d e l 中 稳 态 产 出 $ y ∗ $ 关 于 储 蓄 率 $ s $ 的 弹 性 ？ A : \frac{ \partial y^* }{ \partial s } \frac{s}{y^*} =\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{k}}
其 中 可 以 看 作 归 属 劳 均 资 本 的 产 出 份 额 。 中 稳 态 的 黄 金 率 水 平 是 如 何 定 义 的 ？ 最 大 化 消 费 的 稳 态 称 为 黄 金 率 水 平 。 根 据 稳 态 消 费 的 定 义 结 合 稳 态 条 件 其 中 $ α k = k ∗ f ′ ( k ∗ ) f ( k ∗ ) $ 可 以 看 作 归 属 劳 均 资 本 的 产 出 份 额 。 < ! − − I D : 1717234008171 − − > Q : S o l o w M o d e l 中 稳 态 的 黄 金 率 水 平 是 如 何 定 义 的 ？ A : 最 大 化 消 费 的 稳 态 称 为 黄 金 率 水 平 。 根 据 稳 态 消 费 的 定 义 结 合 稳 态 条 件 c^=f(k^ )-sf(k^)=f(k^ )-(n+g+\delta)k^*
为 中 收 敛 速 度 指 的 是 什 么 ， 通 常 用 什 么 符 号 表 示 ？ 收 敛 速 度 指 动 态 方 程 一 阶 泰 勒 展 开 中 的 一 阶 导 数 F . O . C . 为 $ f ′ ( k ∗ ) = ( n + g + δ ) = 0 $ < ! − − I D : 1717234008180 − − > Q : S o l o w M o d e l 中 收 敛 速 度 指 的 是 什 么 ， 通 常 用 什 么 符 号 表 示 ？ A : 收 敛 速 度 指 $ k ˙ $ 动 态 方 程 一 阶 泰 勒 展 开 中 的 一 阶 导 数 \dot{k}(k)\approx \dot{k}(k^)+\left.\frac{ \partial \dot{k} }{ \partial k } \right|_{k=k^ }(k-k^*)
通 常 记 作 中 收 敛 速 度 的 表 达 式 ？ 通 常 记 作 $ ∂ k ˙ ∂ k | k = k ∗ = λ $ < ! − − I D : 1717233316435 − − > Q : S o l o w M o d e l 中 收 敛 速 度 的 表 达 式 ？ A : \lambda=(n+g+\delta)(\alpha_{k}-1)
< ! − − I D : 1717233385719 − − >